✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (2)

Méthode

Lorsqu'on rencontre une indétermination dans un quotient avec le  numérateur et le  dénominateur qui tendent vers 0, on peut penser à la limite d'un taux de variation d'une fonction.

Énoncé

Déterminer $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^7-1}{x-1}}$ .

Solution

On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=x^7$ .
$f$  est dérivable sur $\mathbb{R}$  et, pour tout réel $x,f^{\prime }(x)=7x^6$ .
En particulier $f$  est dérivable en $1$  donc $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^7-1}{x-1}=f^{\prime }(1)}$ .
Ainsi $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^7-1}{x-1}=7}$ .